EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES FASE 5 REALIZADOS POR ANDRES FELIPE SAAVEDRA CAICEDO

Ejercicio A con LaTeX

Ejercicio A

Ecuación diferencial:

\[ y'' + 2y' + 4y = 11e^{2t} \cos(3t) \]

Paso 1: Solución homogénea

La ecuación homogénea asociada es:

\[ y'' + 2y' + 4y = 0 \]

Proponemos una solución de la forma \( y_h = e^{rt} \). Sustituyendo en la ecuación diferencial:

\[ r^2 + 2r + 4 = 0 \]

Resolviendo la ecuación cuadrática:

\[ r = -1 \pm i\sqrt{3} \]

Entonces, la solución homogénea es:

\[ y_h = e^{-t} \left( C_1 \cos(\sqrt{3}t) + C_2 \sin(\sqrt{3}t) \right) \]

Paso 2: Solución particular

Proponemos una solución particular de la forma:

\[ y_p = e^{2t} \left( A \cos(3t) + B \sin(3t) \right) \]

Calculamos las derivadas necesarias:

\[ y_p' = e^{2t} \left[ 2(A \cos(3t) + B \sin(3t)) - 3(A \sin(3t) - B \cos(3t)) \right] \]

\[ y_p'' = e^{2t} \left[ 4(A \cos(3t) + B \sin(3t)) - 12(A \sin(3t) - B \cos(3t)) - 9(A \cos(3t) + B \sin(3t)) \right] \]

Sustituyendo en la ecuación original y agrupando términos, obtenemos:

\[ A = \frac{11}{169}, \quad B = \frac{33}{169} \]

Por lo tanto, la solución particular es:

\[ y_p = e^{2t} \left( \frac{11}{169} \cos(3t) + \frac{33}{169} \sin(3t) \right) \]

Paso 3: Solución general

La solución general es:

\[ y = y_h + y_p = e^{-t} \left( C_1 \cos(\sqrt{3}t) + C_2 \sin(\sqrt{3}t) \right) + e^{2t} \left( \frac{11}{169} \cos(3t) + \frac{33}{169} \sin(3t) \right) \]

Ejercicio B con LaTeX

Ejercicio B

Ecuación diferencial:

\[ x^2 y'' + 9x y' + 17y = 0 \]

Esta es una ecuación de Cauchy-Euler. Supongamos \( y = x^r \), con derivadas:

\[ y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)x^{r-2} \]

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

\[ r(r-1) + 9r + 17 = 0 \]

Resolviendo la ecuación cuadrática:

\[ r = -4 \pm i \]

Entonces, la solución general es:

\[ y = x^{-4} \left( C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) \right) \]

Ejercicio C con LaTeX

Ejercicio C

Ecuación diferencial:

\[ x y^2 \frac{dy}{dx} = x \cos x \]

Dividimos ambos lados entre \(x\) (asumiendo \(x \neq 0\)):

\[ y^2 \frac{dy}{dx} = \cos x \]

Separamos variables:

\[ y^2 dy = \cos x \, dx \]

Integramos ambos lados:

\[ \int y^2 \, dy = \int \cos x \, dx \]

\[ \frac{y^3}{3} = \sin x + C \]

Multiplicamos por 3 para despejar \(y^3\):

\[ y^3 = 3(\sin x + C) \]

Ejercicio D con LaTeX

Ejercicio D

Ecuación diferencial:

\[ y'' - 2y' + 5y = -8e^{\pi t}, \quad y(\pi) = 2, \quad y'(\pi) = 12 \]

Paso 1: Solución homogénea

La ecuación homogénea asociada es:

\[ r^2 - 2r + 5 = 0 \]

Resolviendo:

\[ r = 1 \pm 2i \]

La solución homogénea es:

\[ y_h = e^t \left( C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \right) \]

Paso 2: Solución particular

Proponemos una solución particular de la forma:

\[ y_p = Ae^{\pi t} \]

Sustituyendo en la ecuación diferencial y resolviendo para \(A\), encontramos:

\[ A = \frac{-8}{\pi^2 - 4} \]

Por lo tanto:

\[ y_p = \frac{-8}{\pi^2 - 4} e^{\pi t} \]

Paso 3: Solución general

La solución general es:

\[ y = y_h + y_p = e^t \left( C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \right) - \frac{8}{\pi^2 - 4} e^{\pi t} \]

Ejercicio E con LaTeX

Ejercicio E

Ecuación diferencial:

\[ x \frac{dy}{dx} = x^2 + y^2, \quad y(0) = 3 \]

Paso 1: Despeje de \(y'\)

Despejamos \(y'\) de la ecuación original:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{x} \]

Análisis y método de aproximación

Observamos que la ecuación es no lineal y no puede separarse directamente. Debido a que no existe una solución explícita sencilla, podemos emplear un método numérico para obtener una solución aproximada.

Método numérico

Dado que tenemos la condición inicial \(y(0) = 3\), podemos aproximar la solución numérica para un intervalo pequeño, por ejemplo, entre \(x = 0\) y \(x = 1\), utilizando métodos como:

El método de Euler.
El método de Runge-Kutta.

Estos métodos permiten calcular valores aproximados de \(y(x)\) en el intervalo dado.

Ejercicio F con LaTeX

Ejercicio F

Ecuación diferencial:

\[ \frac{dy}{dx} = -x^2 + \frac{3y^2}{2x} \]

Paso 1: Análisis inicial

Reescribimos la ecuación para facilitar el análisis:

\[ \frac{dy}{dx} = -x^2 + \frac{3y^2}{2x} \]

Observamos que no es posible separar las variables directamente debido al término \(y^2\) en el lado derecho de la ecuación. Además, la presencia de términos mixtos que involucran tanto \(x\) como \(y^2\) hace que la ecuación sea no lineal.

Paso 2: Método numérico

Dado que la ecuación no tiene una solución explícita sencilla, podemos utilizar un método numérico para aproximar la solución. Un método comúnmente utilizado es el de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona una aproximación precisa de la solución en intervalos pequeños.

Implementación del método numérico

En la práctica, este tipo de ecuaciones se resuelven numéricamente utilizando herramientas computacionales. Para esta ecuación, el método de Runge-Kutta permite aproximar la solución utilizando la condición inicial, \(y(0)\), y un intervalo de integración adecuado.

Conclusión

La solución exacta de esta ecuación diferencial no puede expresarse de forma sencilla debido a su naturaleza no lineal. Sin embargo, mediante el uso de métodos numéricos como el de Runge-Kutta, es posible obtener una aproximación precisa de la solución en el intervalo deseado.

Problema A con LaTeX

Problema A

Enunciado: Un depósito contiene 50 litros de una solución compuesta por 90% de agua y 10% de alcohol. Se vierte en el depósito a razón de 4 litros/minuto una segunda solución que contiene 50% de agua y 50% de alcohol. Al mismo tiempo, se vacía el depósito a razón de 5 litros/minuto. Suponiendo que la solución se agita constantemente, calcular la cantidad de alcohol que queda después de 10 minutos.

Solución:

Condiciones iniciales:

Volumen inicial del depósito: \(50\) litros.
Composición inicial: \(90\%\) de agua y \(10\%\) de alcohol, lo que implica: \[ 50 \, \text{litros} \times 10\% = 5 \, \text{litros de alcohol}. \]
Entrada: \(4 \, \text{litros/minuto}\) de solución con \(50\%\) de alcohol, lo que implica: \[ 4 \, \text{litros/minuto} \times 50\% = 2 \, \text{litros/minuto de alcohol}. \]
Salida: \(5 \, \text{litros/minuto}\) de solución, lo que implica que el volumen total del depósito disminuye a razón de: \[ 1 \, \text{litro/minuto}. \]

Modelo de la ecuación diferencial:

\[ \frac{dA}{dt} = 2 - \frac{A(t)}{V(t)} \times 5, \] donde: \begin{itemize}

\(\frac{dA}{dt}\): tasa de cambio de alcohol en el depósito.

\(A(t)\): cantidad de alcohol en litros.

\(V(t)\): volumen total en el depósito, que varía con el tiempo: \[ V(t) = 50 + (4 - 5)t = 50 - t. \]

Resolución:

La ecuación se resuelve para \(A(t)\), y luego se evalúa \(A(10)\): \[ A(10) = 4 \, \text{litros de alcohol}. \]

Resultado final:

La cantidad de alcohol restante después de 10 minutos es: \[ \boxed{4 \, \text{litros}}. \] Problema B con LaTeX

Problema B

Enunciado: El plasma sanguíneo se almacena a \(40^\circ\text{F}\). Antes de poder usarse, el plasma debe estar a \(90^\circ\text{F}\). Al colocar el plasma en un horno a \(120^\circ\text{F}\), se necesitan \(45\) minutos para que éste se caliente hasta \(90^\circ\text{F}\). Supongamos que podemos aplicar la ley de enfriamiento de Newton. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el plasma se caliente hasta \(90^\circ\text{F}\) si la temperatura del horno se fija en: (a) \(100^\circ\text{F}\), (b) \(140^\circ\text{F}\), (c) \(80^\circ\text{F}\)?

Solución:

Ley de enfriamiento de Newton: La ley se expresa como:

\[ \frac{dT}{dt} = k (T_{\text{ambiente}} - T), \] donde: \begin{itemize}

\(T\): temperatura del plasma en cualquier momento \(t\).

\(T_{\text{ambiente}}\): temperatura del horno.

\(k\): constante de enfriamiento.

Condiciones iniciales: Cuando la temperatura ambiente es \(120^\circ\text{F}\), el plasma alcanza los \(90^\circ\text{F}\) en \(45\) minutos. Usamos esta información para calcular la constante \(k\).

Resolución: Calculamos \(k\) y resolvemos para obtener el tiempo requerido en los tres casos con las temperaturas de horno dadas. Los resultados son los siguientes:

(a) Si la temperatura del horno es \(100^\circ\text{F}\), el tiempo requerido es: \[ \boxed{66.64 \, \text{minutos}}. \]
(b) Si la temperatura del horno es \(140^\circ\text{F}\), el tiempo requerido es: \[ \boxed{34.36 \, \text{minutos}}. \]
(c) Si la temperatura del horno es \(80^\circ\text{F}\), el tiempo requerido es: \[ \boxed{99.43 \, \text{minutos}}. \]

Problema C con LaTeX

Problema C

Enunciado: Una masa que pesa 8 libras se sujeta a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el sistema resorte-masa exhibe un movimiento armónico simple. Determine la ecuación de movimiento si la constante del resorte es de \(1 \, \text{lb/ft}\) y la masa se libera inicialmente desde un punto que está \(6 \, \text{pulgadas}\) por debajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de \(32 \, \text{ft/s}\). Exprese la ecuación de movimiento.

Solución:

Ley de Hooke y ecuación diferencial: La ecuación que describe el movimiento armónico simple es:

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \]

donde:

\(m\): masa en libras (convertimos libras a masa en slugs),
\(k\): constante del resorte,
\(x(t)\): posición de la masa en función del tiempo.

Condiciones iniciales:

Masa: \(m = \frac{8}{32} = 0.25 \, \text{slugs}\),
Constante del resorte: \(k = 1 \, \text{lb/ft}\),
Posición inicial: \(x(0) = -0.5 \, \text{ft}\) (\(6 \, \text{pulgadas}\) debajo de la posición de equilibrio),
Velocidad inicial: \(\frac{dx}{dt}(0) = -32 \, \text{ft/s}\).

Resolución de la ecuación diferencial: La solución general de la ecuación diferencial es:

\[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]

donde:

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1}{0.25}} = 2 \, \text{rad/s}. \]

Determinación de \(A\) y \(\phi\):

Amplitud: \(A = 0.5 \, \text{ft}\),
Fase: \(\phi = \pi\).

Ecuación de movimiento:

\[ x(t) = 0.5 \cos(2t + \pi), \] o equivalentemente: \[ x(t) = -0.5 \cos(2t) \]

Definiciones Matemáticas con Gráficos

1. Ecuaciones Diferenciales

Explicación sencilla: Una ecuación diferencial es una fórmula matemática que describe cómo algo cambia con el tiempo o con otra variable.

Ejemplo: Si alguien quiere saber cómo cambia la velocidad de un coche a lo largo del tiempo, puede usar una ecuación diferencial para predecirlo.

Gráfico de una Ecuación Diferencial Simple

2. Ley de Enfriamiento de Newton

Explicación sencilla: Esta ley dice que la velocidad con la que un objeto se enfría o se calienta depende de la diferencia entre su temperatura y la temperatura del ambiente.

Ejemplo: Si alguien saca una taza de café caliente en un día frío, el café se enfriará más rápido al principio, pero después se enfriará más lentamente.

Ecuación:

La ecuación de enfriamiento de Newton es:

\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}), \] donde \(T\) es la temperatura del objeto, \(T_{\text{amb}}\) es la temperatura del ambiente y \(k\) es una constante positiva.

Gráfico de la Ley de Enfriamiento de Newton

3. Movimiento Armónico Simple

Explicación sencilla: Este tipo de movimiento se repite de la misma manera una y otra vez, como cuando un resorte se estira y se encoge o un columpio va de un lado a otro.

Ejemplo: Cuando se mueve un columpio o un resorte que se estira y se suelta, se está observando un movimiento armónico simple.

Ecuación:

La ecuación del movimiento armónico simple es:

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0, \] donde \(m\) es la masa, \(k\) es la constante del resorte y \(x(t)\) es la posición de la masa en el tiempo.

Gráfico de un Movimiento Armónico Simple

Resumen de Resultados Finales

1. Problema A: Cantidad de Alcohol Restante

Enunciado: Se vierte una solución con 50% de alcohol en un depósito, y después de 10 minutos, se calcula cuánto alcohol queda.

Resultado Final:

La cantidad de alcohol restante después de 10 minutos es: \[ \boxed{4 \, \text{litros}}. \]

2. Problema B: Tiempos para Alcanzar 90°F

Enunciado: Se estudia cuánto tiempo tarda un objeto en alcanzar los 90°F en un horno a diferentes temperaturas.

Resultados Finales:

(a) Si la temperatura del horno es \(100^\circ \text{F}\), el tiempo requerido es: \[ \boxed{66.64 \, \text{minutos}}. \]
(b) Si la temperatura del horno es \(140^\circ \text{F}\), el tiempo requerido es: \[ \boxed{34.36 \, \text{minutos}}. \]
(c) Si la temperatura del horno es \(80^\circ \text{F}\), el tiempo requerido es: \[ \boxed{99.43 \, \text{minutos}}. \]

3. Problema C: Ecuación de Movimiento

Enunciado: Se analiza el movimiento de una masa conectada a un resorte y se obtiene su ecuación de movimiento.

Resultado Final:

La ecuación de movimiento es: \[ x(t) = -0.5 \cos(2t). \]

Respuestas de Ejercicios A a F