TEMA 5: ECUACIONES CON ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA EN LOS NÚMEROS ENTEROS
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Nombre del docente en formación: |
Andrés Felipe Saavedra Caicedo |
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Institución Educativa: |
IE La Milagrosa, sede Gregorio Hernández Saavedra |
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Nombre docente de la institución: |
Dallely Gamboa |
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Grado: |
Séptimos A, B, C, D |
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Situación problema central: |
Los estudiantes presentan dificultades para comprender y
resolver ecuaciones multiplicativas y aplicarlas en problemas proporcionales,
como cálculo de tarifas, costos totales o relaciones en actividades
productivas. |
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Pensamiento asociado a la problemática: |
La comprensión de ecuaciones multiplicativas permite
desarrollar habilidades para resolver problemas proporcionales que se
presentan en la vida diaria y en diferentes áreas del conocimiento. |
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DBA asociado a la problemática: |
Resolver ecuaciones multiplicativas relacionadas con
situaciones proporcionales, utilizando estrategias matemáticas para
identificar y representar relaciones entre magnitudes. |
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Estándar que abordará: |
Identificar y resolver ecuaciones multiplicativas en
diversos contextos matemáticos y prácticos, desarrollando la capacidad de
analizar resultados y tomar decisiones basadas en cálculos precisos. |
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Objetivo de la secuencia didáctica: |
Que los estudiantes comprendan la estructura de las
ecuaciones multiplicativas y sean capaces de resolverlas en diferentes
contextos, aplicando las estrategias matemáticas apropiadas. |
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Desarrollo de actividades para la secuencia didáctica: |
Sesión 1: Introducción a las Ecuaciones Multiplicativas |
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Fecha de la sesión: |
(Indicar fecha) |
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Tiempo: |
1 hora y 40 minutos |
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Propósito de la sesión: |
Que los estudiantes comprendan cómo resolver ecuaciones
multiplicativas, relacionándolas con situaciones reales, como calcular
precios totales o analizar relaciones entre cantidades. |
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Recursos pedagógicos: |
Actividades:
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- Guía institucional. |
Momento Inicial (20 minutos): Exploración inicial. |
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Desarrollo: El docente plantea una pregunta: “Si 3x = 15,
¿cómo resolverían para hallar x?”. Los estudiantes resuelven este ejemplo y
otros similares en el tablero, reflexionando sobre su relación con problemas
cotidianos. |
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una ecuación multiplicativa en los números enteros, es una ecuación que presenta la siguiente estructura o forma: mx + a = b; donde m, a y b, son valores numéricos y la letra x, representa la incógnita o variable a calcular. En cursos futuros la letra m que multiplica a la variable x, tiene una connotación importante: se conoce como pendiente y se utiliza para calcular la inclinación de una línea recta en el plano cartesiano X,Y, como se muestra a continuación  sean los siguientes casos: identificar los términos y hallar las soluciones correspondientes: 1. 3x = 4 para este caso, las incógnita es x y los valores numéricos son 3 y 4 Resolución de ecuaciones de la forma multiplicativa primer paso: identificar la ecuación inicial u original, para este caso es 3x = 4 segundo paso: despejar la variable x del lado donde se encuentre, es decir, la variable x tiene que quedar, sola y positiva ( es decir, mayor que cero); por lo tanto, se divide la ecuación por 3 ya que es el valor que acompaña a la variable x 3x = 4 (1/3) 3x = 4 (1/3) x = 4/3 tercer paso: determinar el valor de la incógnita o variable x, para este caso es 4/3 x = 4/3 cuarto paso: probar la solución de la ecuación con el valor calculado de x, para este punto se trabajo con la ecuación original o inicial y el valor de la variable x: 3x = 4 x= 4/3 3(4/3) = 4 4 = 4 por lo tanto, 4/3, es valor que satisface la ecuación 3x = 4, es decir, es su solución 2. 4x + 2 = 3 primer paso: identificar la ecuación inicial u original, para este caso es 4x + 2 = 3 segundo paso: despejar la variable x del lado donde se encuentre, es decir, la variable x tiene que quedar, sola y positiva ( es decir, mayor que cero); por lo tanto, se divide la ecuación por 4 ya que es el valor que acompaña a la variable x 4x + 2 = 3 4x = 3 - 2 4x = 1 (1/4)4x = 1(1/4) x = 1/4 tercer paso: determinar el valor de la incógnita o variable x, para este caso es 1/4 x = 1/4 cuarto paso: probar la solución de la ecuación con el valor calculado de x, para este punto se trabaja con la ecuación original o inicial y el valor de la variable x: 4x + 2 = 3 x = 1/4 4(1/4) + 2 = 3 1 + 2 = 3 3 = 3 por lo tanto 1/4 es valor que satisface la ecuación 4x + 2 = 3 3. (1/2)x - 3 = 0 primer paso: identificar la ecuación inicial u original, para este caso es (1/2)x - 3 = 0 segundo paso: despejar la variable x del lado donde se encuentre, es decir, la variable x tiene que quedar, sola y positiva ( es decir, mayor que cero); por lo tanto, se multiplica la ecuación por 2 ya que es el valor que acompaña a la variable x (1/2)x - 3 = 0 (2)(1/2)x = 3 (2) x = 6 tercer paso: determinar el valor de la incógnita o variable x, para este caso es 6 x = 6 cuarto paso: probar la solución de la ecuación con el valor calculado de x, para este punto se trabaja con la ecuación original o inicial y el valor de la variable x: (1/2)x - 3 = 0 x = 6 1/2(6) - 3 = 0 3 - 3 = 0 3 = 3 por lo tanto, x = 6, es valor que satisface la ecuación (1/2)x - 3 = 0 4. (1/4)m + 2 + 3 = 40 - 10 primer paso: identificar la ecuación inicial u original, para este caso es (1/4)m + 2 + 3 = 40 - 10, pero esta ecuación se puede simplificar: (1/4)m + 5 = 30 segundo paso: despejar la variable x del lado donde se encuentre, es decir, la variable x tiene que quedar, sola y positiva ( es decir, mayor que cero); por lo tanto, se multiplica la ecuación por 4 ya que es el valor que acompaña a la variable x (1/4)m + 5 = 30 (1/4)m = 30 - 5 (1/4)m = 25 m = 4 * 25 m = 100 tercer paso: determinar el valor de la incógnita o variable m, para este caso es 100 m = 100 cuarto paso: probar la solución de la ecuación con el valor calculado de x, para este punto se trabaja con la ecuación original o inicial y el valor de la variable x: (1/4)m + 2 + 3 = 40 - 10 m= 100 (1/4)(100) + 2 + 3 = 40 - 10 25 + 5 = 30 30 = 30 algo de historia: las ecuaciones de primer grado tienen su origen en las culturas antiguas: como los egipcios, sumerios, chinos, hindúes, griegos, árabes y fueron inicialmente desarrolladas y usadas para fines comerciales y agrícolas. aplicaciones ecuaciones de primer grado: En el campo de la ingeniería eléctrica y electrónica, es importante el concepto y resolución de problemas por medio de ecuaciones de primer grado, para la solución de circuitos (entiéndase que por circuito se conoce la conexión cerrada de dispositivos para transmitir energía), para este caso, se analizara el circuito mas sencillo, un circuito de resistencias, para calcular la resistencia total en serie de un circuito eléctrico, según la teoría nos dice:  Resistencia Total = R1 + R2. donde R1 y R2, son las resistencias 1 y resistencia 2 ejemplo 1: Si en un circuito se tiene R1 = 5 ohms y R2 = 4 ohms, ¿Cuál es el valor de RT? RT = R1 + R2 RT = 5 ohms + 4 ohms = 9 ohms ejemplo 2: si la resistencia total es de 20 ohms, y R1 10hms ¿Cuál seria el valor de R2?. RT = R1 + R2; 20 ohms = 10hms + R2 20 ohms -10 ohms = R2 10 ohms = R2 aplicativo matifinanzas: Juseff es un estudiante de séptimo grado que
vende productos en su escuela como emprendedor. Quiere calcular cuántos
productos debe vender para cubrir los gastos iniciales y obtener una ganancia.
Pregunta:
Resolución del
Presupuesto y Ganancia:
Paso 1:
Calculamos el costo total de los materiales: Costo de los
lápices: 30 × 500 = 15.000 Costo de los
borradores: 20 × 300 = 6.000 Costo de los
lapiceros: 15 × 800 = 12.000 Costo de los
dulces: 50 × 200 = 10.000 Total de la
inversión inicial: 15.000 + 6.000 + 12.000 + 10.000 = 43.000 pesos.
Paso 2: Calculamos el precio de venta de todos
los productos: Precio de venta
de los lápices: 30 × 1.000 = 30.000 Precio de venta
de los borradores: 20 × 500 = 10.000 Precio de venta
de los lapiceros: 15 × 1.200 = 18.000 Precio de venta
de los dulces: 50 × 400 = 20.000 Total del ingreso
por ventas: 30.000 + 10.000 + 18.000 + 20.000 = 78.000 pesos.
Paso 3: Calculamos la ganancia: Ganancia = Total
de ingresos - Total de inversión 78.000 - 43.000 = 35.000 pesos.
Respuesta:
¿Qué pasaría si no logra vender todos los
productos? Supongamos que solo vende la mitad de cada producto. Calcula cuánto
dinero obtendría y si cubriría la inversión. Si decide bajar el precio de los dulces a $300
cada uno, ¿cuánto afectaría su ganancia final? Resolución de la
Actividad Adicional: 1. ¿Qué pasa si
vende solo la mitad de los productos? Calculamos la
venta de la mitad de cada producto: Lápices: 15
(mitad de 30) × 1.000 = 15.000 Borradores: 10
(mitad de 20) × 500 = 5.000 Lapiceros: 7.5
(mitad de 15) × 1.200 = 9.000 Dulces: 25 (mitad
de 50) × 400 = 10.000 Total del
ingreso: 15.000 + 5.000 + 9.000 + 10.000 = 39.000 pesos. Comparación con
la inversión inicial: Inversión
inicial: 43.000 Ingreso por venta
de la mitad: 39.000 Resultado: Si
vende solo la mitad de los productos, no cubrirá la inversión inicial y le
faltarán: 43.000 - 39.000 = 4.000 pesos para no tener pérdidas.
2. Si baja el
precio de los dulces a $300, ¿cómo afecta la ganancia final? Recalculamos el
ingreso con el nuevo precio de los dulces: Lápices: 30 ×
1.000 = 30.000 Borradores: 20 ×
500 = 10.000 Lapiceros: 15 ×
1.200 = 18.000 Dulces: 50 × 300
= 15.000 Total del
ingreso: 30.000 + 10.000 + 18.000 + 15.000 = 73.000 pesos. Ganancia
recalculada: Ganancia =
Ingreso total - Inversión inicial 73.000 - 43.000 = 30.000 pesos.
Resultado: Reducir el precio de los dulces a $300 disminuye la ganancia de 35.000 a
30.000, es decir, pierde $5.000 de ganancia. CURSO ARITMETICA UNO GOOGLE CLASS ROOM
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- Google Classroom. |
Momento Final (20 minutos): Evaluación formativa. Se
realiza un cuestionario en Google Classroom con problemas de ecuaciones
multiplicativas, que incluye preguntas teóricas y contextuales para analizar
los resultados obtenidos. |
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Evaluación: |
Criterios: |
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- Resultados en Google Classroom. |
1. Resolución adecuada de ecuaciones multiplicativas,
incluyendo problemas contextuales. |
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- Publicaciones en Blogger con soluciones detalladas. |
2. Aplicación de las ecuaciones en situaciones
proporcionales. |
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3. Participación activa en el trabajo grupal,
reflexionando sobre el uso práctico de las ecuaciones. |
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